Question

已知點A是圓F₁：（x+

3

）²+y²=16上任意一點，點F₂與點F₁關(guān)于原點對稱．線段AF₂的中垂線m分別與AF₁AF₂交于M、N兩點．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）先確定F₁、F₂的坐標，再根據(jù)線段PF₂的中垂線與PF₁交于M點，結(jié)合橢圓的定義，可得點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，從而可得點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的二次方程，利用韋達定理得到關(guān)于兩個交點的坐標的關(guān)系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標表示，據(jù)已知三個斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出k的值，利用判別式大于0得到m的范圍，將△OPQ面積用m表示，求出面積的范圍．

解答： 解：（I）由題意得，F(xiàn)₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）
圓F₁的半徑為4，且|MF₂|=|MP|（2分）
從而|MF₁|+|MF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

∴點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，其中長軸2a=4，焦距2c=2

3

，
則短半軸b=1，
∴橢圓方程為：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線與橢圓聯(lián)立消去y得
（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則△=64k²b²-16（1+4k²b²）（b²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且x₁+x₂=

-8km

1+4k2

，x₁x₂=

4(m2-1)

1+4k2

．
故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
所以

y1y2

x1x2

=k²，
即

-8k2m2

1+4k2

+m²=0，又m≠0，
所以k²=

1

4

，即k=±

1

2

．
由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2且m²≠1．
設(shè)d為點O到直線l的距離，
則S_△OPQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

|x₁-x₂||m|=

m2(2-m2)

，
所以S_△OPQ的取值范圍為（0，1）．

點評：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般設(shè)出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到關(guān)于一個未知數(shù)的二次方程，利用韋達定理，找突破口．注意設(shè)直線方程時，一定要討論直線的斜率是否存在．