Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$，且函數(shù)g（x）=f（x）-kx+2k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． -$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$≤k≤0
• B． -$\frac{1}{3}$≤k≤0或k=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． k≤-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或k=-$\frac{1}{3}$
• D． -$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$≤k≤-$\frac{1}{3}$或k=0

Answer 1

分析 由g（x）=0得f（x）=kx-2k=k（x-2），根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合建立條件關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由g（x）=f（x）-kx+2k=0得f（x）=kx-2k=k（x-2），
設(shè)h（x）=k（x-2），則h（x）過(guò)定點(diǎn)（2，0）
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
①當(dāng)g（x）與f（x）在第一象限相切時(shí)，滿足條件．
此時(shí)k＜0，由圓心到直線kx-y-2k=0的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1得k=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或k=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（舍），
②當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A（-1，1）時(shí)，滿足條件．，此時(shí)-3k=1，得k=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)-$\frac{1}{3}$≤k≤0時(shí)，也滿足條件．，
綜上實(shí)數(shù)k的取值范圍是-$\frac{1}{3}$≤k≤0或k=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．