Question

19．方程lg（4x²+4ax）=1g（4x-a+1）有唯一解，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{5}$，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)方程的性質(zhì)將方程轉(zhuǎn)化為不等式組，利用一元二次方程根與判別式△的關(guān)系進行討論求解即可．

解答 解：原方程等價于條件組：$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+4ax＞0}\\{4x-a+1＞0}\\{4{x}^{2}+4ax=4x-a+1}\end{array}\right.$，
由4x²+4ax=4x-a+1得4x²+4（a-1）x+a-1=0．
△=16（a-1）²-16（a-1）=16（a-1）（a-2）．
當△=0時，得a=1，或a=2．
代入條件組中可知，①a=1時，$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+4x＞0}\\{4x＞0}\\{4{x}^{2}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0或x＜-1}\\{x＞0}\\{x=0}\end{array}\right.$，不等式組無解，
②當a=2時．$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+8x＞0}\\{4x＞1}\\{4{x}^{2}+4x+1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0或x＜-2}\\{x＞\frac{1}{4}}\\{x=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，不等式組無解．故△≠0．
當△＞0時，有a＜1或a＞2．此時$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{a-1}{4}}\\{4{x}^{2}+4（a-1）x+a-1=0}\end{array}\right.$，
若此時lg（4x²+4ax）=1g（4x-a+1）有唯一解，
則等價為方程4x²+4（a-1）x+a-1=0在（$\frac{a-1}{4}$，+∞）上有唯一一個解，
若方程的一個根為x=$\frac{a-1}{4}$，代入方程4（$\frac{a-1}{4}$）²+4（a-1）•$\frac{a-1}{4}$+a-1=0
得$\frac{a-1}{4}$+（a-1）=-1，得a=$\frac{1}{5}$，
設(shè)4x²+4（a-1）x+a-1=0有兩不等實根x₁，x₂（$\frac{1}{5}$≤a≤1）
由前可知，a≠1．當a=$\frac{1}{5}$時，條件組中的方程為4x²-$\frac{16}{5}$x-$\frac{4}{5}$=0．
則x₁=-$\frac{1}{5}$，x₂═1．此時，$\frac{a-1}{4}$=-$\frac{1}{5}$．
滿足x₁≤$\frac{a-1}{4}$，x₂＞$\frac{a-1}{4}$．
綜上可知，$\frac{1}{5}$≤a＜1．即a∈[$\frac{1}{5}$，1）．
故答案為：[$\frac{1}{5}$，1）

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)對數(shù)方程的等價條件進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次函數(shù)根與判別式△的關(guān)系進行討論，注意對數(shù)對定義域的限制要求．