Question

8．已知四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，則球O的表面積為（　�。�

• A． 12π
• B． 16π
• C． 20π
• D． 25π

Answer 1

分析 由余弦定理求出CD=2$\sqrt{3}$，以AB、BC、CD、AB為長方體的長、寬、高構造長方體AGHF-BCDF，球O的半徑R=$\frac{1}{2}EC$，由此能求出球O的表面積．

解答 解：∵四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，
又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，
∴CD=$\sqrt{16+4-2×4×2×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC²+CD²=BD²，∴AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
∴以AB、BC、CD、AB為長方體的長、寬、高構造長方體AGHF-BCDF，
則球O的半徑R=$\frac{1}{2}EC$=$\frac{1}{2}\sqrt{9+4+12}$=$\frac{5}{2}$，
∴球O的表面積S=4$π×（\frac{5}{2}）^{2}$=25π．
故選：D．

點評 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．