Question

13．在△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b=$\sqrt{2}$，c=1，cosB=$\frac{3}{4}$．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值．
（2）由c＜b，可得C為銳角，由（1）可得cosC，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵b=$\sqrt{2}$，c=1，cosB=$\frac{3}{4}$．
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinB}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{7}}{4}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$…4分
（2）∵c＜b，C為銳角，
∴由（1）可得：cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{5\sqrt{2}}{8}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{14}}{8}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1×$$\frac{\sqrt{14}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．