Question

17．已知函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1+8．
（Ⅰ）當(dāng)m=3時，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函數(shù)f（x）的最小值g（m）（用m表示）；
（Ⅲ）討論函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上的零點(diǎn)的個數(shù)，并求出零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)m=3時，f（x）=4^x-3•2^x+1+8=0，從而解得2^x=2或2^x=4，從而解得．
（Ⅱ）化簡f（x）=4^x-m•2^x+1+8=（2^x-m）²+8-m²，從而討論以確定函數(shù)的最小值．
（Ⅲ）令f（x）=4^x-m•2^x+1+8=0得m=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{{2}^{x}}$+2^x），從而結(jié)合基本不等式及對勾函數(shù)討論方程的解的個數(shù)，從而確定零點(diǎn)的個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=3時，
f（x）=4^x-3•2^x+1+8=0，
即2^x=2或2^x=4，
解得，x=1或x=2；
（Ⅱ）f（x）=4^x-m•2^x+1+8=（2^x-m）²+8-m²，
當(dāng)x∈[0，1]時，2^x∈[1，2]，
①當(dāng)m≤1時，g（m）=f（0）=9-2m，
②當(dāng)1＜m＜2時，g（m）=8-m²，
③當(dāng)m≥2時，g（m）=f（1）=12-4m，
綜上所述，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{9-2m，m≤1}\\{8-{m}^{2}，1＜m＜2}\\{12-4m，m≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）令f（x）=4^x-m•2^x+1+8=0得，
m=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{{2}^{x}}$+2^x），
∵$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{{2}^{x}}$+2^x）≥$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)m＜2$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上沒有零點(diǎn)，
當(dāng)m=2$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上有且只有一個零點(diǎn)，為$\frac{3}{2}$，
當(dāng)m＞2$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上有兩個零點(diǎn)，
故2^x=m+$\sqrt{{m}^{2}-8}$，或2^x=m-$\sqrt{{m}^{2}-8}$，
故x=log₂（m+$\sqrt{{m}^{2}-8}$），或x=log₂（m-$\sqrt{{m}^{2}-8}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．