Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosα}\\{y=2+\sqrt{7}sinα}\end{array}\right.$（其中α為參數(shù)），曲線C₂：（x-1）²+y²=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若射線θ=$\frac{π}{6}$（ρ＞0）與曲線C₁，C₂分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sin²α+cos²α=1，能求出曲線C₁的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C₂的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）依題意設(shè)A（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），B（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$），將$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程，求出ρ₁=3，將$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）代入曲線C₂的極坐標(biāo)方程求出${ρ}_{2}=\sqrt{3}$，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosα}\\{y=2+\sqrt{7}sinα}\end{array}\right.$（其中α為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程為x²+（y-2）²=7．
∵曲線C₂：（x-1）²+y²=1，
∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x-1）²+y²=1，
得到曲線C₂的極坐標(biāo)方程（ρcosθ-1）²+（ρsinθ）²=1，
化簡，得ρ=2cosθ．
（Ⅱ）依題意設(shè)A（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），B（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$），
∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρsinθ-3=0，
將$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程，得ρ²-2ρ-3=0，
解得ρ₁=3，
同理，將$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）代入曲線C₂的極坐標(biāo)方程，得${ρ}_{2}=\sqrt{3}$，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=3-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生運(yùn)算求解能力、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、考查分析問題、解決問題能力．