【題目】已知函數(shù),集合.

(1)當時,解不等式;

(2)若,且,求實數(shù)的取值范圍;

(3)當時,若函數(shù)的定義域為,求函數(shù)的值域.

【答案】(1);(2);(3)當時,的值域為

時,的值域為;當時,的值域為

【解析】分析:(1)先根據(jù)一元二次方程解得ex>3,再解對數(shù)不等式得解集,(2)解一元二次不等式得集合A,再根據(jù),得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解,利用變量分離法得a≥3ex-e2x在0≤x≤1上有解,即a≥[3ex-e2x]min.最后根據(jù)二次函數(shù)性質求最值得結果,(3)先轉化為對勾函數(shù),再根據(jù)拐點與定義區(qū)間位置關系,分類討論,結合單調性確定函數(shù)值域.

詳解:(1)當a=-3時,由f(x)>1得ex-3e-x-1>1,

所以e2x-2ex-3>0,即(ex-3) (ex+1)>0,

所以ex>3,故x>ln3,

所以不等式的解集為(ln3,+∞).

(2)由x2-x≤0,得0≤x≤1,所以A={x|0≤x≤1}.

因為A∩B≠,所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解,

即 f(x)≥2在0≤x≤1上有解,

即ex+ae-x-3≥0在0≤x≤1上有解,

所以a≥3ex-e2x在0≤x≤1上有解,即a≥[3ex-e2x]min.

由0≤x≤1得1≤ex≤e,

所以3ex-e2x=-(ex)2∈[3e-e2,],

所以a≥3e-e2.

(3)設t=ex,由(2)知1≤t≤e,

記g(t)=t+-1(1≤t≤e,a>1),則,

t

(1,)

(,+∞)

g′(t)

0

g(t)

極小值

①當≥e時,即a≥e2時,

g(t)在1≤t≤e上遞減,所以g(e)≤g(t)≤g(1),即

所以f(x)的值域為.

②當1<<e時,即1<a<e2時,

g(t)min= g()=2-1,g(t)max=max{ g(1),g(e)} =max{ a,}.

1°若a,即e<a<e2時,g(t)max= g(1)= a;

所以f(x)的值域為;

2°若a,即1<a≤e時,g(t)max= g(e) =,

所以f(x)的值域為

綜上所述,當1<a≤e時,f(x)的值域為;

當e<a<e2時,f(x)的值域為

當a≥e2時,f(x)的值域為

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