Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線x2=2py（p＞0）上的點M（m，1）到焦點F的距離為2，
（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，點E是拋物線上異于原點的點，拋物線在點E處的切線與x軸相交于點P，直線PF與拋物線相交于A，B兩點，求△EAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線x2=2py（p＞0）的準線方程為 ，

因為M（m，1），由拋物線定義，知 ，

所以 ，即p=2，

所以拋物線的方程為x2=4y

（2）解：因為 ，所以 ．

設(shè)點 ，則拋物線在點E處的切線方程為 ．

令y=0，則 ，即點 ．

因為 ，F(xiàn)（0，1），所以直線PF的方程為 ，即2x+ty﹣t=0．

則點 到直線PF的距離為 ．

聯(lián)立方程 消元，得t2y2﹣（2t2+16）y+t2=0．

因為△=（2t2+16）2﹣4t4=64（t2+4）＞0，

所以 ， ，

所以 ．

所以△EAB的面積為 ．

不妨設(shè) （x＞0），則 ．

因為 時，g'（x）＜0，所以g（x）在 上單調(diào)遞減； 上，g'（x）＞0，所以g（x）在 上單調(diào)遞增．

所以當(dāng) 時， ．

所以△EAB的面積的最小值為 ．

【解析】（1）求出拋物線x2=2py（p＞0）的準線方程為 ，由拋物線定義，得到p=2，即可求解拋物線的方程．（2）求出函數(shù)的 ．設(shè)點 ，得到拋物線在點E處的切線方程為 ．求出 ．推出直線PF的方程，點 到直線PF的距離，聯(lián)立 求出AB，表示出△EAB的面積，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用單調(diào)性求解最值即可．