Question

3．已知函數f（x）=$\frac{2x}{x+1}$．
（1）判斷函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調性，并用定義證明你的結論；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[2，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數的大小定義進行證明即可；
（2）根據（1）的結論，利用單調性得到最值．

解答 解：（1）函數f（x）在[1，+∞）上是增函數；
證明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2{x_1}}}{{{x_1}+1}}-\frac{{2{x_2}}}{{{x_2}+1}}=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）}}$…（4分）
∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數f（x）在[1，+∞）上是增函數     …（7分）
（2）由（1）知，f（x）在[2，4]上是增函數．…（8分）
所以最大值為$f（4）=\frac{8}{5}$，
最小值為$f（2）=\frac{4}{3}$…（12分）

點評 本題考查了函數單調性的判定以及應用；利用定義證明函數的單調性要正確在區(qū)間取值、作差、變形、正確判斷符號．