Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx（b，c∈R）的圖象在點(diǎn)x=1處的切線方程為6x-2y-1=0，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=ae^x（a∈R）（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），若存在x₀∈[0，2]，使g（x₀）=f′（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f′（x）=3x²+2bx+c，知f（x）在x=1處的切線方程為y=（3+2b+c）x-2-b，故$\left\{\begin{array}{l}{3+2b+c=3}\\{-2-b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，2]使g（x₀）=f′（x₀）成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故a=$\frac{3{x}^{2}-3x+3}{{e}^{x}}$，令h（x）=$\frac{3{x}^{2}-3x+3}{{e}^{x}}$，則h′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+9x-6}{{e}^{x}}$，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2bx+c，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2b+c=3}\\{-2-b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即b=-$\frac{3}{2}$，c=3．
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，2]使g（x₀）=f′（x₀）成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•e^x=3x²-3x+3，
∴a=$\frac{3{x}^{2}-3x+3}{{e}^{x}}$，
令h（x）=$\frac{3{x}^{2}-3x+3}{{e}^{x}}$，
∴h′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+9x-6}{{e}^{x}}$，
令h′（x）=0，得x₁=1，x₂=2，列表討論：

x	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（x）	-	0	+	0
h（x）	↓	極小值	↑	極大值

∴h（x）有極小值h（1）=$\frac{3}{e}$，h（x）有極大值h（2）=$\frac{9}{{e}^{2}}$，
且當(dāng)x→0時(shí)，h（x）→3＞$\frac{9}{{e}^{2}}$，
∴a的取值范圍是[$\frac{3}{e}$，3）．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值和實(shí)數(shù)取值范圍的求法，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)極值的求法和應(yīng)用、切線方程的求法和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．