Question

13．如圖，棱長為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面α上，三條棱AB，AC，AD都在平面α的同側(cè)，若頂點(diǎn)B，C到平面α的距離分別為1，$\sqrt{2}$，則頂點(diǎn)D到平面α的距離是$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 本題的條件正規(guī)，但位置不正規(guī)．牽涉到的知識(shí)雖然只有線面距離和線面角，但難于下手．出路何在？在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，有關(guān)系的只有4個(gè)（其他頂點(diǎn)可不予理會(huì)）．這4點(diǎn)組成直角四面體，這就是本題的根．所以最終歸結(jié)為：已知直角四面體的3個(gè)頂點(diǎn)A，B，C到平面M的距離依次為0，1，$\sqrt{2}$，求頂點(diǎn)D到平面M的距離．

解答 解：如圖，連結(jié)BC、CD、BD，則四面體A-BCD為直角四面體．作平面M的法線AH，再作，BB₁⊥平面M于B₁，CC₁⊥平面M于C₁，DD₁⊥平面M于D₁．
連結(jié)AB₁，AC₁，AD₁，令A(yù)H=h，DA=a，DB=b，DC=c，
由等體積可得$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$，
∴$\frac{{h}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{h}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{h}^{2}}{{c}^{2}}$=1
令∠BAB₁=α，∠CAC₁=β，∠DAD₁=γ，
可得sin²α+sin²β+sin²γ=1，
設(shè)DD₁=m，∵BB₁=1，CC₁=$\sqrt{2}$，
∴$（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}$=1
解得m=$\sqrt{6}$．即所求點(diǎn)D到平面α的距離為$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)D到平面α的距離，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．