Question

根據(jù)如圖所示算法語句，將輸出的A值依次分別記為a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₁₄
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

22n-1

an•an+1

，若數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，證明：對于任意的n∈N^*，S_n＜

1

3

（n∈N^*，n≤2014）

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,程序框圖

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，a_n=（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁=3（2^2n-3+2^2n-5+…+2）+1=2^2n-1-1，利用等比數(shù)列的求和公式可得a_n=2^2n-1-1，再驗證a₁=1，滿足上式即可；
（2）由（1）知a_n=2^2n-1-1，利用裂項法易知b_n=

22n-1

an•an+1

=

1

3

（

1

22n-1-1

-

1

22n+1-1

），從而可知結(jié)論成立．

解答： （1）解：由已知，當n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3（2^2n-3+2^2n-5+…+2）+1=2^2n-1-1，
而a₁=1，滿足上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=2^2n-1-1；
（2）證明：由（1）知a_n=2^2n-1-1，
所以b_n=

22n-1

an•an+1

=

22n-1

(22n-1-1)(22n+1-1)

=

1

3

（

1

22n-1-1

-

1

22n+1-1

），
∴S_n=

1

3

[（

1

2

-

1

7

）+（

1

7

-

1

31

）+…+（

1

22n-1-1

-

1

22n+1-1

）]
=

1

3

（

1

2

-

1

22n+1-1

）＜

1

6

＜

1

3

．
故對于任意的n∈N^*，S_n＜

1

3

（n∈N^*，n≤2014）．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查列項相消法求和，考查程序框圖的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．