【題目】橢圓C:()的左、右焦點分別是、,離心率為,過且垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點,連接、,設(shè)的角平分線PM交C的長軸于點,求m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,過點P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個公共點設(shè)直線、的斜率分別為、,若,試證明為定值,并求出這個定值.
【答案】(1)(2)(3)見解析,定值為.
【解析】
(1)根據(jù)過且垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長為3,得到,根據(jù)離心率得到,從而得到和的值;
(2)設(shè),表示出和的直線方程,根據(jù)題意得到到兩直線的距離相等,得到和的關(guān)系,從而得到的范圍;
(3)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,由,得到,表示出,從而得到,整理化簡后,得到定值.
(1)由于,
將代入橢圓方程,得,
由題意知,又,
所以,
所以橢圓C的方程為
(2)設(shè)()
又,所以直線的方程分別為
,,
由題意知,
由于點在橢圓上,
所以,,
所以,
因為,,
所以,所以.
因此.
(3)設(shè)(),則直線的方程為
聯(lián)立
整理得.
由題意得,即.
又,所以,
故.
而,
所以,
因此為定值,這個定值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】工廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上每半個小時抽取一件產(chǎn)品并對其某個質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行檢測,一共抽取了件產(chǎn)品,并得到如下統(tǒng)計表.該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護(hù)次數(shù)與指標(biāo)有關(guān),具體見下表.
質(zhì)量指標(biāo) | |||
頻數(shù) | |||
一年內(nèi)所需維護(hù)次數(shù) |
(1)以每個區(qū)間的中點值作為每組指標(biāo)的代表,用上述樣本數(shù)據(jù)估計該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的平均值(保留兩位小數(shù));
(2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產(chǎn)品,再從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件產(chǎn)品,求這件產(chǎn)品的指標(biāo)都在內(nèi)的概率;
(3)已知該廠產(chǎn)品的維護(hù)費用為元/次,工廠現(xiàn)推出一項服務(wù):若消費者在購買該廠產(chǎn)品時每件多加元,該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費維護(hù)一次.將每件產(chǎn)品的購買支出和一年的維護(hù)支出之和稱為消費費用.假設(shè)這件產(chǎn)品每件都購買該服務(wù),或者每件都不購買該服務(wù),就這兩種情況分別計算每件產(chǎn)品的平均消費費用,并以此為決策依據(jù),判斷消費者在購買每件產(chǎn)品時是否值得購買這項維護(hù)服務(wù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于兩點,在第一象限,軸,垂足為,連接延長交橢圓于點.
①求證:;
②求面積最大值.
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【題目】有下列四個命題:
①“若,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題;
②“全等三角形的面積相等”的否命題;
③“若,則有實根”的逆否命題;
④“直角三角形有兩個角是銳角”的逆命題;
其中真命題為( )
A.①②B.②③C.①③D.③④
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【題目】某學(xué)習(xí)軟件以數(shù)學(xué)知識為題目設(shè)置了一項闖關(guān)游戲,共有15關(guān),每過一關(guān)可以得到一定的積分,現(xiàn)有三種積分方案供闖關(guān)者選擇.方案一:每闖過一關(guān)均可獲得40積分;方案二:闖過第一關(guān)可獲得5積分,后面每關(guān)的積分都比前一關(guān)多5;方案三:闖過第一關(guān)可獲得0.5積分,后面每關(guān)的積分都是前一關(guān)積分的2倍.若某關(guān)闖關(guān)失敗則停止游戲,最終積分為闖過的各關(guān)的積分之和,設(shè)三種方案闖過n(且)關(guān)后的積分之和分別為,要求闖關(guān)者在開始前要選擇積分方案.
(1)求出的表達(dá)式;
(2)為獲得盡量多的積分,如果你是一個闖關(guān)者,試分析這幾種積分方案該如何選擇?小明通過試驗后覺得自己至少能闖過12關(guān),則他應(yīng)該選擇第幾種積分方案?
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【題目】某公司在招聘員工時,要進(jìn)行筆試,面試和實習(xí)三個過程.筆試設(shè)置了3個題,每一個題答對得5分,否則得0分.面試則要求應(yīng)聘者回答3個問題,每一個問題答對得5分,否則得0分.并且規(guī)定在筆試中至少得到10分,才有資格參加面試,而筆試和面試得分之和至少為25分,才有實習(xí)的機(jī)會.現(xiàn)有甲去該公司應(yīng)聘,假設(shè)甲答對筆試中的每一個題的概率為,答對面試中的每一個問題的概率為.
(1)求甲獲得實習(xí)機(jī)會的概率;
(2)設(shè)甲在去應(yīng)聘過程中的所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若時,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)在時取得極值,當(dāng)時,求使得恒成立的實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和拋物線E:y2=2px(p>0),圓C與拋物線E的準(zhǔn)線交于M、N兩點,△MNF的面積為p,其中F是E的焦點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)不過原點O的動直線l交該拋物線于A,B兩點,且滿足OA⊥OB,設(shè)點Q為圓C上任意一動點,求當(dāng)動點Q到直線l的距離最大時直線l的方程.
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