Question

【題目】某學(xué)習(xí)軟件以數(shù)學(xué)知識為題目設(shè)置了一項闖關(guān)游戲，共有15關(guān)，每過一關(guān)可以得到一定的積分，現(xiàn)有三種積分方案供闖關(guān)者選擇.方案一：每闖過一關(guān)均可獲得40積分；方案二：闖過第一關(guān)可獲得5積分，后面每關(guān)的積分都比前一關(guān)多5；方案三：闖過第一關(guān)可獲得0.5積分，后面每關(guān)的積分都是前一關(guān)積分的2倍.若某關(guān)闖關(guān)失敗則停止游戲，最終積分為闖過的各關(guān)的積分之和，設(shè)三種方案闖過n（且）關(guān)后的積分之和分別為，要求闖關(guān)者在開始前要選擇積分方案．

（1）求出的表達式；

（2）為獲得盡量多的積分，如果你是一個闖關(guān)者，試分析這幾種積分方案該如何選擇？小明通過試驗后覺得自己至少能闖過12關(guān)，則他應(yīng)該選擇第幾種積分方案？

Answer 1

【答案】（1）；；（2）見解析，小明應(yīng)該選擇方案三.

【解析】

（1）根據(jù)題意，分別得到各方案所對應(yīng)的數(shù)列，從而得到；

（2）令，分別得到的范圍，結(jié)合題意中的，從而做出判斷.

（1）按方案一闖過各關(guān)所得積分構(gòu)成常數(shù)數(shù)列，故；

按方案二闖過各關(guān)所得積分構(gòu)成首項為5，公差為5的等差數(shù)列，故；

按方案三闖過各關(guān)所得積分構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列，故．

（2）令，即，解得，

而當(dāng)時，，

又因為且，故恒成立，

故方案二不予考慮.

令，即，解得，

故有，當(dāng)時，；當(dāng)，，

故當(dāng)能闖過的關(guān)數(shù)小于10時，應(yīng)選擇方案一；

當(dāng)能闖過的關(guān)數(shù)大于等于10時，應(yīng)選擇方案三.

小明應(yīng)該選擇方案三.