Question

12．已知函數(shù)f（x）=-sin2x-$\sqrt{3}$（1-2sin²x）+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用輔助角公式進行化簡，即可求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和值域之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-sin2x-$\sqrt{3}$（1-2sin²x）+1=-sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1       …（3分）
原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即是函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的單調(diào)增區(qū)間      …（5分）
由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）為單調(diào)增函數(shù)，
就是函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，
當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z時，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．         …（7分）
（Ⅱ）因為x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，所以2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，…（8分）
所以sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]…（10分）
所以f（x）的值域為[-1，1]．                    …（12分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．