Question

1．若G是△ABC的重心，且$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，則角A=（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 根據(jù)重心性質(zhì)可知：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，由$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，知（a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GA}$+（b-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$．因為$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共線，所以a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，由余弦定理可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出∠A．

解答 解：根據(jù)重心性質(zhì)可知：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，
∴（a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GA}$+（b-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共線，
∴a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
由余弦定理可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=30°．
故選A．

點評 本題考查了三角形重心對應(yīng)的向量條件的應(yīng)用，即把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，利用和角的正切公式，屬于中檔題．