Question

設(shè){a_n}是一個(gè)公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S₁₀=110，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列
（1）證明：a₁=d；
（2）求公差d的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

4

anan+1

，求{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知可得a₂²=a₁•a₄，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），整理可得a₁=d；
（2）結(jié)合（1）由條件S₁₀=110，求出d=2，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

4

anan+1

，可得通項(xiàng)，再求{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： （1）證明：因a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，故a₂²=a₁a₄
而{a_n}是等差數(shù)列，有a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d
于是（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
即a₁²+2a₁d+d²=a₁²+3a₁d
化簡得a₁=d
（2）解：由條件S₁₀=110，得到10a₁+45d=110
由（1），a₁=d，代入上式得55d=110
故d=2，a_n=a₁+（n-1）d=2n
因此，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n；
（3）解：b_n=

4

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和為1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力．