Question

設f（x）=x³-

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x²-2x+5．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；
（2）當x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）=0，得x=1或x=-

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，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間．
（2）由已知得只需使x∈[-1，2]時，f（x）的最大值小于m即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-

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x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）=0，得x=1或x=-

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，
當x∈（-∞，-

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）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當x∈（-

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，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-

2

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）和（1，+∞），f（x）的減區(qū)間為（-

2

3

，1）．
（2）當x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，
只需使x∈[-1，2]時，f（x）的最大值小于m即可，
由（1）知f（x）_極大值=f（-

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）=5

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，f（2）=7，
∴f（x）在x∈[-1，2]中的最大值為f（2）=7，
∴m＞7．

點評：本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力，分類討論等綜合解題能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．