Question

2．從某校隨機(jī)抽取部分男生進(jìn)行身體素質(zhì)測(cè)試，獲得擲實(shí)心球的成績(jī)數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布表，成績(jī)?cè)?1.0米（精確到0.1米）以上（含）的男生為“優(yōu)秀生”．

分組（米）	頻數(shù)	頻率
[3.0，5.0）		0.10
[5.0，7.0）		0.10
[7.0，9.0）		0.10
[9.0，11.0）		0.20
[11.0，13.0）		0.40
[13.0，15.0）	10
合計(jì)		1.00

（Ⅰ）求參加測(cè)試的男生中“優(yōu)秀生”的人數(shù)；
（Ⅱ）從參加測(cè)試男生的成績(jī)中，根據(jù)表中分組情況，按分層抽樣的方法抽取10名男生的成績(jī)作為一個(gè)樣本，再?gòu)脑摌颖局腥芜x2名男生的成績(jī)，求至少選出1名男生的成績(jī)不低于13.0米的概率；
（Ⅲ）若將這次測(cè)試的頻率作為概率，從該校全體男生中隨機(jī)抽取3人，記X表示3人中“優(yōu)秀生”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖先求出第6小組的頻率，由第6小組的頻率為10，能求出總?cè)藬?shù)，由此能求出“優(yōu)秀生”的人數(shù)．
（Ⅱ） 根據(jù)分層抽樣，在各組抽取的人數(shù)分別1人，1人，1人，2人，4人，1人．其中成績(jī)不低于13.0米的有1人．設(shè)事件A為“至少1名男生成績(jī)不低于13.0米”，利用排列組合知識(shí)能求出至少選出1名男生的成績(jī)不低于13.0米的概率．
（Ⅲ）從該校全體男生中任選一人，這個(gè)人是“優(yōu)秀生”的概率為$\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$．由題意知X的可能取值為0，1，2，3．分另求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）第6小組的頻率為1-（0.10+0.10+0.20+0.40）=0.10，
∵第6小組的頻數(shù)為10，
∴總?cè)藬?shù)為$\frac{10}{0.10}$=100（人）．
∴第5、6組的學(xué)生均為“優(yōu)秀生”，人數(shù)為（0.40+0.10）×100=50（人）．
即“優(yōu)秀生”的人數(shù)為50． …（4分）
（Ⅱ） 根據(jù)分層抽樣，在各組抽取的人數(shù)分別1人，1人，1人，2人，4人，1人．
其中成績(jī)不低于13.0米的有1人．
設(shè)事件A為“至少1名男生成績(jī)不低于13.0米”，則P（A）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
∴選出的2名男生的成績(jī)中至少有1名男生的成績(jī)不低于13.0米的概率為$\frac{1}{5}$．…（7分）
（Ⅲ）從該校全體男生中任選一人，這個(gè)人是“優(yōu)秀生”的概率為$\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$．
由題意知X的可能取值為0，1，2，3．
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{0}（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{1}{8}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）=\frac{3}{8}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）^{0}$=$\frac{1}{8}$．
所求分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴EX=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、概率、離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．