Question

10．（1）設(shè)由三個(gè)有序數(shù)組成的集合A={（x₁，x₂，x₃）|x_i∈{-1，0，1}，i=1，2，3}，求集合A中滿足條件“|x₁|+|x₂|+|x₃|=2”的元素個(gè)數(shù)n；
（2）在（1）的條件下，設(shè)f（x）=（a+bx+cx²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ，若a₀+a₂+…+a_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1=2¹¹，求正數(shù)a，c的積的最大值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出x₁，x₂，x₃ 中有一個(gè)取0，另2個(gè)取±1，由此能求出集合A中滿足條件“|x₁|+|x₂|+|x₃|=2”的元素個(gè)數(shù)n．
（2）由n=12，得f（x）=（a+bx+cx²）¹²=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₄x²⁴，再由a₀+a₂+…+a₂₄=a₁+a₃+…+a₂₃=2¹¹，令x=1，得a+b+c=±2，令x=-1，得a+c=b，由此能求出正數(shù)a，c的積的最大值．

解答 解：（1）∵由三個(gè)有序數(shù)組成的集合A={（x₁，x₂，x₃）x_i∈{-1，0，1}，i=1，2，3}，
集合A中元素滿足條件“|x₁|+|x₂|+|x₃|=2”，
∴x₁，x₂，x₃ 中有一個(gè)取0，另2個(gè)取±1，
∴集合A中滿足條件“|x₁|+|x₂|+|x₃|=2”的元素個(gè)數(shù)：
n=${C}_{3}^{1}×2×2$=12．
（2）∵n=12，∴f（x）=（a+bx+cx²）¹²=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₄x²⁴，
∵a₀+a₂+…+a₂₄=a₁+a₃+…+a₂₃=2¹¹，
∴令x=1，得（a+b+c）¹²=a₀+a₁+a₂+…+a₃₆=2¹²，
∴a+b+c=±2，
令x=-1，得（a-b+c）¹²=a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₂₃-a₂₄=0，
∴a+c=b，
∵正數(shù)a，c，即a＞0，c＞0，∴b＞0，
∴a+b+c=2，∴a+c=b=1，
∴a+c=1$≥2\sqrt{ac}$，∴ac$≤\frac{1}{4}$．
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c=$\frac{1}{2}$時(shí)，ac取最大值$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查集合中元素個(gè)數(shù)的求法，考查兩個(gè)正數(shù)乘積的最大值的求法，考查排列組合、二項(xiàng)式系數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．