Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}，x≤0\\{x^2}，x＞0\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（4，+∞）
• B． （-∞，-1]∪[4，+∞）
• C． [-1，0）∪（4，+∞）
• D． [-1，0）∪[4，+∞）

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）和y=k（x-1）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象求出k的范圍即可．

解答 解：若函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
則f（x）與y=k（x-1）有2個(gè)交點(diǎn)，
畫出函數(shù)f（x）和y=k（x-1）的圖象，如圖所示：
，
對于y=k（x-1）顯然直線過定點(diǎn)（1，0），
①k＜0時(shí)，k=-1時(shí)，直線和f（x）有2個(gè)交點(diǎn)，
繞著（1，0）旋轉(zhuǎn)直線得k∈[-1，0），
②k＞0時(shí)，設(shè)y=k（x-1）與f（x）相切時(shí)，切點(diǎn)為A（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{f′{（x}_{0}）={2x}_{0}}\\{{{{y}_{0}=x}_{0}}^{2}}\\{{y}_{0}={2x}_{0}{（x}_{0}-1）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2}\\{{y}_{0}=4}\\{k=4}\end{array}\right.$，
此時(shí)直線的斜率是4，當(dāng)k＞4時(shí)，直線和f（x）相割，有2個(gè)交點(diǎn)，
綜上，k∈[-1，0）∪（4，+∞），
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．