Question

4．過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作斜率為1的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（λ＞1），則λ等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． 2$\sqrt{2}$+3

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞x₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得x²-6x+1=0，由拋物線定義得|$\overrightarrow{AF}$|=x₁+1，|$\overrightarrow{BF}$|=x₂+1，由此能求出λ的值．

解答 解：過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作斜率為1的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，
拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），直線AB的方程為y=x-1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞x₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得x²-6x+1=0，
解得${x}_{1}=3+2\sqrt{2}$，${x}_{2}=3-2\sqrt{2}$，
∵$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（λ＞1），∴|$\overrightarrow{AF}$|＞|$\overrightarrow{BF}$|，且λ=$\frac{|\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{FB}|}$
由拋物線定義得|$\overrightarrow{AF}$|=x₁+1，|$\overrightarrow{BF}$|=x₂+1，
∴λ=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$=3+2$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用．