Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=3，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=x+3上．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）由點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=x+3上，可得：a_n+1=a_n+3，即a_n+1-a_n=3，利用等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{9n（n+1）}$=$\frac{1}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （I）證明：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=x+3上，∴a_n+1=a_n+3，
∴a_n+1-a_n=3，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)為3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
（II）解：b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{9n（n+1）}$=$\frac{1}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{9}$$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{9}$$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{9（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．