Question

已知函數(shù)，其中函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅰ）若，求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：.

Answer 1

（Ⅰ）,則有，解得

        

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令

，則，

（i）當(dāng)時(shí)，。

若，則，是減函數(shù)，所以，即

故在上不恒成立.

(ii)當(dāng)時(shí)，。

若，則是增函數(shù)，所以，即故當(dāng)

時(shí)，.

綜上所述，所求的取值范圍為。

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，有。

令有

且當(dāng)時(shí)，。   令有

，

將上述個(gè)不等式依次相加，得

整理得

解法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，就是

那么

由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，有。

令有。

令，得

。

這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，不等式也成立

根據(jù)①和②，可知不等式對(duì)任何都成立。