Question

4．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，底面邊長的側(cè)棱長均為2，A₁B=$\sqrt{6}$．
（1）求證：A₁B⊥平面AB₁C．
（2）求證A₁到平面BB₁C₁C的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明A₁B⊥平面AB₁C．
（2）求出三棱錐A₁-ABC的體積，利用體積法即可求證A₁到平面BB₁C₁C的距離．

解答 （I）證明：取AC的中點(diǎn)O，A₁O，BO．
因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以BO⊥AC．…（1分）
因?yàn)閭?cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，側(cè)面A₁ACC₁∩底面ABC=AC，BO⊥AC，
所以BO⊥側(cè)面ACC₁A．A₁O?側(cè)面ACC₁A，∴BO⊥A₁O．…（2分）
在Rt△A₁BO中，
因?yàn)?{A_1}B=\sqrt{6}，BO=\sqrt{3}$，所以${A_1}O=\sqrt{3}$．
AA₁=2，AO=1，所以${A_1}{O^2}+A{O^2}=A{A_1}^2$．
所以△A₁AO為直角三角形，
所以A₁O⊥AC．…（3分）
又BO⊥AC，A₁O∩BO=O，
所以AC⊥平面A₁BO．A₁B?平面A₁BO，
所以A₁B⊥AC．…（4分）
因?yàn)樗倪呅蜛BB₁A₁為菱形，所以A₁B⊥AB₁．
…（5分）
因?yàn)锳₁B∩AC=A，所以A₁B⊥平面AB₁C．…（6分）
（II）由（I）知，A₁O⊥底面$ABC，{A_1}O=\sqrt{3}$．
所以三棱錐A₁-ABC的體積為${V_{{A_1}-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•{A_1}O=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}=1$．
所以四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積為2．…（7分）
過C₁作C₁D⊥AC交AC的延長線于D，連BD．
則C₁D⊥底面$ABC，{C_1}D={A_1}O=\sqrt{3}$．
在Rt△C₁DC中，得$CD=\sqrt{4-3}=1$．…（8分）
在△BDC中，BD²=2²+1²-2×2×1×cos120°=7，∴$BD=\sqrt{7}$．…（9分）
在Rt△BC₁D中，得$B{C_1}=\sqrt{7+3}=\sqrt{10．}$…（10分）
菱形BB₁C₁C中，得${B_1}C=2\sqrt{4-\frac{10}{4}}=\sqrt{6}$．
所以菱形BB₁C₁C的面積為$\sqrt{15}$．…（11分）
設(shè)所求為h，可得$\frac{1}{3}×\sqrt{15}×h=2$，解得$h=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）
所以點(diǎn)A₁到平面BB₁C₁C的距離為$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的判斷以及點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)體積法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．