Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=（

2

2x+a

-1）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）用單調(diào)性的定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
（3）若實(shí)數(shù)m滿足f（1-2m）+f（

2m

3

+1）≤0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：

分析：本題（1）可以利用函數(shù)f（x）的奇偶性定義，得到參數(shù)a的值；（2）直接利用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行證明；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，從而將函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為自變量大小的比較，再解不等式，得到本題的結(jié)論．

解答： （1）解：∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

2

2x+a

-1是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），x∈R．
∴

2

2x+a

-1=-

2

2-x+a

+1，
∴

1

2x+a

+

1

2-x+a

=1，
∴（a-1）2^2x+（a-1）²2^x+（a-1）=0，
∴（a-1）[2^2x+（a+1）2^x+1]=0，
∴a=1．
（2）證明：在（-∞，+∞）上任取兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=(

2

2x2+1

-1)-(

2

2x1+1

-1)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（3）∵奇函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（1-2m）+f（

2m

3

+1）≤0可轉(zhuǎn)化為：
f（1-2m）≤-f（

2m

3

+1），
∴f（1-2m）≤f（-

2m

3

-1），
∴f（1-2m）≤f（-

2m

3

-1），
∴1-2m≥-

2m

3

-1，
∴m≤

3

2

．
∴m的取值范圍是（-∞，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．