Question

1．已知A，B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1左、右頂點(diǎn)，過橢圓中心0作弦MN交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AN}$$•\overrightarrow{MN}$=0，|$\overrightarrow{MN}$|=2|$\overrightarrow{AN}$|．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）如圖所示，過頂點(diǎn)B作平行于y軸的直線BC，連接OC，過點(diǎn)A作弦AD∥OC交橢圓于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接AC交DE于P點(diǎn)，求證：|$\overrightarrow{DE}$|=2|$\overrightarrow{DP}$|．

Answer 1

分析 （1）由題意知AN⊥NO，且|AN|=|ON|，從而可得點(diǎn)N（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），從而可得a²=3b²，從而求橢圓的離心率；
（2）由題意作圖象，設(shè)直線AD與直線BC相交于點(diǎn)M，從而利用平行及相似證明即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AN}$$•\overrightarrow{MN}$=0，
∴AN⊥NO，
又∵|$\overrightarrow{MN}$|=2|$\overrightarrow{AN}$|，
∴|AN|=|ON|，又∵|OA|=a，
∴點(diǎn)N（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），
故$\frac{（-\frac{a}{2}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（-\frac{a}{2}）^{2}}{^{2}}$=1，
解得，a²=3b²，
故e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）證明：由題意作圖象如右圖，
設(shè)直線AD與直線BC相交于點(diǎn)M，
∵O是AB的中點(diǎn)，
又∵AD∥OC，
∴OC是△ABM的中位線，
∴BC=BM，
∵DE∥BM，
∴$\frac{DP}{MC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PE}{BC}$，
∴DP=PE，
∴|$\overrightarrow{DE}$|=2|$\overrightarrow{DP}$|．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了圓錐曲線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用．