Question

17．一款底面為正方形的長(zhǎng)方體無(wú)蓋金屬容器（忽略其厚度），如圖所示，當(dāng)其容積為500cm³時(shí)，問(wèn)容器的底面邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所使用材料最��？

Answer 1

分析 設(shè)底面邊長(zhǎng)為xcm，高為ycm，根據(jù)體積公式用x表示出y，代入表面積公式得出表面積S關(guān)于x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的極小值點(diǎn)即可．

解答 解：設(shè)長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)為xcm，高為ycm，
則x²y=500，∴y=$\frac{500}{{x}^{2}}$．
∴長(zhǎng)方體的表面積（不包括上底面）為S（x）=x²+4xy=x²+$\frac{2000}{x}$，
∴S′（x）=2x-$\frac{2000}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-1000）}{{x}^{2}}$，
令S′（x）=0得x=10，
當(dāng)0＜x＜10時(shí)，S′（x）＜0，當(dāng)x＞10時(shí)，S′（x）＞0，
∴S（x）在（1，10]上單調(diào)遞減，在（10，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=10時(shí)，S（x）取得最小值．
  答：當(dāng)容器底面邊長(zhǎng)為10cm時(shí)，所使用材料最省．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系，函數(shù)最值的應(yīng)用，屬于中檔題．