Question

6．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（1）=1，f（x）＜f′（x），則關(guān)于x的不等式f（x+1）＜e^x的解集為（-∞，0）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-1}}$（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-1}}$（x∈R），
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x-1}}$，
∵f′（x）＞f（x），
∴f′（x）-f（x）＞0
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵f（x+1）＜e^x，f（1）=1，
∴g（x+1）＜g（1）
∴x+1＜1，
∴x＜0，
∴不等式f（x+1）＜e^x的解集為（-∞，0）．
故答案為：（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．