Question

7．某城市號(hào)召中學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)（以下簡(jiǎn)稱活動(dòng)）．該城市某學(xué)校學(xué)生會(huì)共有12名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．
（Ⅰ）從學(xué)生會(huì)中任意選兩名學(xué)生組成一個(gè)小組，若這兩人參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等，則稱該小組為“和諧小組”，求任選該校兩名學(xué)生會(huì)成員組成的小組是“和諧小組”的概率；
（Ⅱ）用樣本估計(jì)總體，從該城市的中學(xué)生中任選4個(gè)小組（每小組兩人），求這4個(gè)小組中“和諧小組”的組數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“該校兩名學(xué)生會(huì)成員組成的小組是‘和諧小組’”為事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出任選該校兩名學(xué)生會(huì)成員組成的小組是“和諧小組”的概率．
（Ⅱ）由$X～B（4，\frac{1}{3}）$，能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“該校兩名學(xué)生會(huì)成員組成的小組是‘和諧小組’”為事件A，
則任選該校兩名學(xué)生會(huì)成員組成的小組是“和諧小組”的概率P（A）=$\frac{C_2^2+C_6^2+C_4^2}{{C_{12}^2}}=\frac{1}{3}$
（Ⅱ）∵$X～B（4，\frac{1}{3}）$，∴$P（X=k）=C_4^k•{（{\frac{1}{3}}）^k}•{（{\frac{2}{3}}）^{4-k}}（k=0，1，2，3，4）$，
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

∵由$X～B（4，\frac{1}{3}）$，∴EX=4×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．