Question

12．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10…，第n個(gè)三角形數(shù)為$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：
三角形數(shù)N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n
正方形數(shù)N（n，4）=n²
五邊形數(shù)N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n
六邊形數(shù)N（n，6）=2n²-n
…
可以推測(cè)N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10，16）=660．

Answer 1

分析 觀察已知式子的規(guī)律，并改寫(xiě)形式，歸納可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，把n=10，k=16代入可得答案．

解答 解：原已知式子可化為：N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n=$\frac{3-2}{2}$n²+$\frac{4-3}{2}$n，
N（n，4）=n²=$\frac{4-2}{2}$n²+$\frac{4-4}{2}$n；
…
由歸納推理可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，
故N（10，16）=$\frac{16-2}{2}×1{0}^{2}+\frac{4-16}{2}×10$=660，
故答案為：660．

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．