Question

17．已知函數(shù)f（x）=[cos（$\frac{π}{2}$-x）-$\sqrt{3}$cosx]cosx．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）討論f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的單調性．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和誘導公式，輔助公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，
（2）將內層函數(shù)看作整體，求出范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調區(qū)間，可得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=[cos（$\frac{π}{2}$-x）-$\sqrt{3}$cosx]cosx．
化簡可得：f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
∵sin（2x-$\frac{π}{3}$）的最大值為1．
∴f（x）的最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$
∴當$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$時，即$\frac{π}{4}≤x≤\frac{5π}{12}$時，f（x）時單調遞增．
∴當$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$時，即$\frac{5π}{12}≤x≤\frac{3π}{4}$時，f（x）時單調遞減．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．