Question

12．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，$\frac{π}{2}$），點(diǎn)P是曲線ρsin²θ=4cosθ上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線ρcosθ+1=0的距離為d，則|PA|+d的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 點(diǎn)A（1，$\frac{π}{2}$），化為直角坐標(biāo)：（0，1）．曲線ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：y²=4x．焦點(diǎn)F（1，0）．直線ρcosθ+1=0化為直角坐標(biāo)方程：x+1=0．由拋物線的定義可得：d=|PF|．|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|，即可得出．

解答 解：點(diǎn)A（1，$\frac{π}{2}$），化為直角坐標(biāo)：（0，1）．
曲線ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：y²=4x．焦點(diǎn)F（1，0）．
直線ρcosθ+1=0化為直角坐標(biāo)方程：x+1=0．
由拋物線的定義可得：d=|PF|．
∴|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
則|PA|+d的最小值為$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、拋物線的定義及其性質(zhì)、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．