Question

【題目】若不等式ln（x+2）+a（x2+x）≥0對(duì)于任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[0，+∞）
B.[0，1]
C.[0，e]
D.[﹣1，0]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令f（x）=ln（x+2）+a（x2+x），x∈[﹣1，+∞），

∵不等式ln（x+2）+a（x2+x）≥0對(duì)于任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，

∴fmin（x）≥0，

f′（x）= +2ax+a= ，

令g（x）=2ax2+5ax+2a+1，

⑴若a=0，則g（x）=1，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在[﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴fmin（x）=f（﹣1）=0，符合題意；

⑵若a＞0，則g（x）的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=﹣ ，

∴g（x）在[﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴gmin（x）=g（﹣1）=1﹣a，

①若1﹣a≥0，即0＜a≤1，則g（x）≥0，∴f′（x）≥0，由（1）可知符合題意；

②若1﹣a＜0，即a＞1，則存在x0∈（﹣1，+∞），

使得當(dāng)x∈（﹣1，x0）時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g（x）＞0，

∴f（x）在（﹣1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴fmin（x）＜f（﹣1）=0，不符合題意；

⑶若a＜0，則g（x）的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=﹣ ，

∴g（x）在[﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，gmax（x）=g（﹣1）=1﹣a＞0，

∴存在x1∈（﹣1，+∞），使得當(dāng)x∈（﹣1，x1）時(shí)，g（x）＞0，當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，g（x）＜0，

∴f（x）在（﹣1，x1）單調(diào)遞增，在（x1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴f（x）在（﹣1，+∞）上不存在最小值，不符合題意；

綜上，a的取值范圍是[0，1]．

故選B．