Question

13．設函數f（x）=$|{x+\frac{16}{m}}|+|{x-m}$|．
（1）證明：f（x）≥8；
（2）當m＞0，且f（1）＞17時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值三角不等式、基本不等式，證得f（x）≥8成立；
（2）利用絕對值三角不等式可得f（1）≥$\frac{16}{m}$+m，再根據$\frac{16}{m}$+m＞17，解一元二次不等式，求得實數m的取值范圍，綜合可得結論．

解答 解：（1）證明：∵函數f（x）=$|{x+\frac{16}{m}}|+|{x-m}$|
≥|x+$\frac{16}{m}$-（x-m）|=|$\frac{16}{m}$+m|=|$\frac{16}{m}$|+|m|≥2$\sqrt{16}$=8，
∴f（x）≥8成立．
（2）∵m＞0，且f（1）=|1+$\frac{16}{m}$|+|1-m|≥|1+$\frac{16}{m}$-（1-m）|=|$\frac{16}{m}$+m|=$\frac{16}{m}$+m＞17，
∴m²-17m+16＞0，即（m-16）•（m-1）＞0，由此求得m＞16，或 m＜1，
故實數m的取值范圍為{m|m＞16，或 0＜m＜1}．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式、基本不等式的應用，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．