Question

13．已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，則$\frac{1+{y}^{2}}{xy}$的最小值為4+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意得到x=1-2y，0＜y＜$\frac{1}{2}$，代入得到$\frac{1+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{1+{y}^{2}}{y-2{y}^{2}}$，構(gòu)造函數(shù)f（y）=$\frac{1+{y}^{2}}{y-2{y}^{2}}$，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值．

解答 解：∵正數(shù)x，y滿足x+2y=1，x=1-2y，0＜y＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{1+{y}^{2}}{y（1-2y）}$=$\frac{1+{y}^{2}}{y-2{y}^{2}}$，
設f（y）=$\frac{1+{y}^{2}}{y-2{y}^{2}}$，
則f′（y）=$\frac{{y}^{2}+4y-1}{（y-2y）^{2}}$，
令f′（y）=0，解得y=$\sqrt{5}$-2，
當f′（y）＞0，即$\sqrt{5}$-2＜y＜$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（y）單調(diào)遞增，
當f′（y）＜0，即0＜y＜$\sqrt{5}$-2時，函數(shù)f（y）單調(diào)遞減，
∴當y=$\sqrt{5}$-2時，函數(shù)f（y）有最小值，
即f（y）_min=f（$\sqrt{5}$-2）=2$\sqrt{5}$+4，
故答案為：4+2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)和函數(shù)的最值的問題，關鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．