Question

18．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
（1）設集合{x|f（x）=x-1}={1，2}，求關于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）設集合{x|f（x）≤x}={1}，且a＞0，求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值M（a）．

Answer 1

分析 （1）由條件便得到方程ax²+（b-1）x+c+1=0有兩個實根1，2，根據(jù)韋達定理便可得出b=1-3a，c=2a-1，從而由f（x）＞0可得到$a（x-\frac{2a-1}{a}）（x-1）＞0$，為解該不等式，從而需討論a＞0和a＜0，以及$\frac{2a-1}{a}$和1的關系，從而解出該不等式，即得出f（x）＞0的解集；
（2）根據(jù)條件便得到一元二次方程ax²+（b-1）x+c=0有二重根1，由韋達定理便可得到b=1-2a，c=a，從而得出f（x）=ax²+（1-2a）x+a，可求出f（x）的對稱軸$x=1-\frac{1}{2a}＜1$，從而可討論$1-\frac{1}{2a}＜0$和$1-\frac{1}{2a}≥0$兩種情況，可以求出每種情況下f（x）在[-2，2]上的最大值，這樣便可得出f（x）在[-2，2]上的最大值M（a）．

解答 解：（1）根據(jù)題意知方程ax²+bx+c=x-1有兩個實根1，2；
即方程ax²+（b-1）x+c+1=0有兩個實根1，2；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-\frac{b-1}{a}}\\{1•2=\frac{c+1}{a}}\end{array}\right.$；
∴b=1-3a，c=2a-1；
∴f（x）=ax²+（1-3a）x+2a-1=[ax-（2a-1）]•（x-1）；
∴由f（x）＞0得[ax-（2a-1）]（x-1）＞0；
即$a（x-\frac{2a-1}{a}）（x-1）＞0$（Ⅰ）；
①若a＞0，上面不等式變成$（x-\frac{2a-1}{a}）（x-1）＞0$；
1）當$\frac{2a-1}{a}＞1$，即a＞1時，上面不等式即不等式f（x）＞0的解集為（-∞，1）∪（$\frac{2a-1}{a}$，+∞）；
2）當$\frac{2a-1}{a}=1$，即a=1時，f（x）＞0的解集為{x|x≠1}；
3）當$\frac{2a-1}{a}＜1$，即0＜a＜1時，f（x）＞0的解集為$（-∞，\frac{2a-1}{a}）∪（1，+∞）$；
②若a＜0，不等式（Ⅰ）變成$（x-\frac{2a-1}{a}）（x-1）＜0$；
a＜0；
∴$\frac{2a-1}{a}=2-\frac{1}{a}＞1$；
∴f（x）＞0的解集為$（1，\frac{2a-1}{a}）$；
（2）由條件知方程ax²+bx+c=x有二重根1；
即方程ax²+（b-1）x+c=0有二重根1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+1=-\frac{b-1}{a}}\\{1•1=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$；
∴b=1-2a，c=a；
∴f（x）=ax²+（1-2a）x+a；
a＞0，f（x）的對稱軸為x=$\frac{2a-1}{2a}$=$1-\frac{1}{2a}＜1$；
∴①$1-\frac{1}{2a}＜0$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時，x=2時，f（x）在[-2，2]上取到最大值a+2；
②$1-\frac{1}{2a}≥0$，即$a≥\frac{1}{2}$時，x=-2時，f（x）在[-2，2]上取到最大值9a-2；
∴$M（a）=\left\{\begin{array}{l}{a+2}&{0＜a＜\frac{1}{2}}\\{9a-2}&{a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點評 考查描述法表示集合，韋達定理，以及一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的最大值，要熟悉二次函數(shù)的圖象．