Question

4．如圖，已知圓M：（x-3）²+（y-3）²=4，六邊形ABCDEF為圓M的內(nèi)接正六邊形，N為AB的中點(diǎn)，當(dāng)正六邊形ABCDEF繞圓心M轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{OC}$的最大值是3$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的三角形法則，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義及幾何意義，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，再由向量的數(shù)量積定義及余弦函數(shù)的值域即可得到最大值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MC}$，
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{MN}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MC}$）=$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MC}$，
∵$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MC}$=|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MC}$|cos∠NMC=$\sqrt{3}$×2×cos90°=0，
由于圓M：（x-3）²+（y-3）²=4，則圓心M（3，3），半徑r=2，
則OM=3$\sqrt{2}$，MN=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OM}$=-$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MO}$=-3$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{MO}$＞∈[-3$\sqrt{6}$，3$\sqrt{6}$]，
∴（$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{OC}$）_max=3$\sqrt{6}$．
故答案為：3$\sqrt{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．