Question

13．函數(shù)y=$\frac{cosx}{2-sinx}$的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 先將y=$\frac{cosx}{2-sinx}$化成cosx-ysinx=2y，再利用三角函數(shù)的和角公式化成：$\sqrt{1+{y}^{2}}$cos（x+θ）=2y，最后利用三角函數(shù)的有界性即可求得值域．

解答 解：∵y=$\frac{cosx}{2-sinx}$，
∴ysinx-2y=cosx，
∴cosx-ysinx=2y，
即：$\sqrt{1+{y}^{2}}$cos（x+θ）=2y，
∵-$\sqrt{1+{y}^{2}}$≤$\sqrt{1+{y}^{2}}$cos（x+θ）≤$\sqrt{1+{y}^{2}}$，
∴-$\sqrt{1+{y}^{2}}$≤2y≤$\sqrt{1+{y}^{2}}$，
解得：y∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故答案為：$[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$．

點評 本題以三角函數(shù)為載體考查分式函數(shù)的值域，屬于求三角函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．