Question

3．如圖，已知D點(diǎn)在⊙O直徑BC的延長線上，DA切⊙O于A點(diǎn)，DE是∠ADB的平分線，交AC于F點(diǎn)，交AB于E點(diǎn)．
（Ⅰ）求∠AEF的度數(shù)；
（Ⅱ）若AB=AD，求$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用弦切角定理、角平分線的性質(zhì)證明∠AEF=∠AFE，由BC為⊙O的直徑，結(jié)合圓周角定理的推論，可得∠AFE的度數(shù)；
（Ⅱ）證明△ACD∽△BAD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，又由AB=AD，可得AD：BD=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)锳C為⊙O的切線，所以∠B=∠DAC
因?yàn)镈E是∠ADB的平分線，所以∠ADE=∠EDB
所以∠B+∠EDB=∠DAC+∠ADE，即∠AEF=∠AFE，
又因?yàn)锽C為⊙O的直徑，所以∠BAC=90°．所以∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°；
（Ⅱ）因?yàn)椤螧=∠DAC，所以∠ADB=∠CDA，所以△ACD∽△BAD，
所以$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，
又因?yàn)锳B=AD，所以∠B=∠ADB=30°，
Rt△BAC中，$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是弦切角，三角形相似的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．