Question

定義平面向量之間的一種運(yùn)算“?”如下：對(duì)任意的向量

a

=（m，n），

b

=（p，q），令

a

?

b

=mq-np，給出下面四個(gè)判斷：
①若

a

與

b

共線，則

a

?

b

=0；         
②若

a

與

b

垂直，則

a

?

b

=0；
③

a

?

b

=

b

?

a

；                      
④（

a

?

b

）²+（

a

•

b

）²=|

a

|²|

b

|²．
其中正確的有

 

 （寫出所有正確的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,新定義,平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示，可得①正確；根據(jù)運(yùn)算“?”的含義加以驗(yàn)證，可得②、③不正確；
根據(jù)向量數(shù)量積的公式、運(yùn)算“?”的含義與向量模的公式加以驗(yàn)證，可得④正確．由此可得本題的答案．

解答： 解：對(duì)于①，若

a

與

b

共線，則mq-np=0．由此可得

a

?

b

=0，所以①正確；
對(duì)于②，若

a

與

b

垂直，則mp+nq=0，則

a

?

b

不一定為0，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，

a

?

b

=mq-np，

b

?

a

=pn-qm，故

a

?

b

=-

b

?

a

，故③錯(cuò)；
對(duì)于④，（

a

?

b

）²+（

a

•

b

）²=（mq-np）²+（mp+nq）²=m²q²+n²p²+m²p²+n²q²
=m²（p²+q²）+n²（p²+q²）=（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|²|

b

|²．故④正確．
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題給出新定義，判斷幾個(gè)等式正確與否．著重考查了平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、向量模的公式、向量共線的坐標(biāo)表示等知識(shí)，屬于中檔題．