Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=$\frac{ax}{1+x}$（x≥0），若f（x）≥g（x）恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤2
• B． a≥2
• C． a≤1
• D． a≥1

Answer 1

分析 由f（x）≥g（x）轉(zhuǎn)化為（x+1）ln（x+1）-ax≥0，令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，對(duì)g（x）求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）≥g（x），
∴l(xiāng)n（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$，
即（x+1）ln（x+1）-ax≥0成立，
令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又g（0）=0，所以對(duì)x≥0，都有g(shù)（x）≥g（0），
即當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）是減函數(shù)，
又g（0）=0，所以對(duì)0＜x＜e^a-1-1，都有g(shù)（x）＜g（0），
即當(dāng)a＞1時(shí)，不是對(duì)所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，題目難度較大．