Question

1．若直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+4x-4y-1=0所截得的弦長為6，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為（　�。�

• A． 10
• B． $4+2\sqrt{6}$
• C． $5+2\sqrt{6}$
• D． $4\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由已知中圓的方程x²+y²+4x-4y-1=0我們可以求出圓心坐標，及圓的半徑，結(jié)合直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+4x-4y-1=0所截得的弦長為6，我們易得到a，b的關(guān)系式，再根據(jù)基本不等式中1的活用，即可得到答案．

解答 解：圓x²+y²+4x-4y-1=（x+2）²+（y-2）²=9是以（-2，2）為圓心，以3為半徑的圓，
又∵直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+4x-4y-1=0所截得的弦長為6，
∴直線過圓心，
∴a+b=1，
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}$=（$\frac{2}{a}+\frac{3}$）（a+b）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}}$=5+2$\sqrt{6}$，當且僅當a=$\sqrt{6}$-2，b=3-$\sqrt{6}$時取等號，
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值的最小值為5+2$\sqrt{6}$，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是直線與圓相交的性質(zhì)，基本不等式，其中根據(jù)已知條件，分析出圓心在已知直線上，進而得到a，b的關(guān)系式，是解答本題的關(guān)鍵．