Question

18．已知實數(shù)a、m滿足a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，（x+a+m）⁷=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₇（x+1）⁷，且（a₀+a₂+a₄+a₆）²-（a₁+a₃+a₅+a₇）²=3⁷，則m=（　�。�

• A． -1或3
• B． 1或-3
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 令x=0，可得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇ =（m+2）⁷ ①．再令x=-2，可得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇ =m⁷ ②，由此求得得 a₀+a₂+a₄+a₆ 和a₁+a₃+a₅+a₇的值，根據(jù)（a₀+a₂+a₄+a₆）²-（a₁+a₃+a₅+a₇）²=（m²+2m）⁷，求得m的值．

解答 解：∵a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=sinx${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，
（x+a+m）⁷=（x+2+m）⁷=[m+1+（x+1）]⁷=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₇（x+1）⁷，
∴令x=0，可得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇ =（m+2）⁷ ①．
再令x=-2，可得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇ =m⁷ ②．
把①+②的結(jié)果除以2，可得 a₀+a₂+a₄+a₆ =$\frac{{（m+2）}^{7}{+m}^{7}}{2}$，
把①-②的結(jié)果除以2，可得a₁+a₃+a₅+a₇=$\frac{{（m+2）}^{7}{-m}^{7}}{2}$，
∴①×②可得（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇ ）•（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇ ）
=（a₀+a₂+a₄+a₆）²-（a₁+a₃+a₅+a₇）² =（m+2）⁷•m⁷=（m²+2m）⁷=3⁷，
∴m²+2m=3，∴m=-3，或m=1，
故選：B．

點評 本題主要考查求定積分，二項式定理的應用，是給變量賦值的問題，關鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，屬于基礎題．