Question

6．已知橢圓W：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），橢圓短軸長(zhǎng)為2，且橢圓過(guò)點(diǎn)P（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$），
1）求橢圓的方程；
2）直線l與橢圓W相交于A，B點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)在橢圓W上是否存在點(diǎn)C，四邊形AOBC為矩形，若存在，請(qǐng)求出矩形AOBC的面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由2b=2，可得b=1．又橢圓過(guò)點(diǎn)$P（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，可得 $\frac{1}{a^2}+\frac{{\frac{3}{4}}}{b^2}=1$，聯(lián)立解出即可得出．
（2）存在四邊形為ABCD矩形．①AB斜率不存在時(shí)，顯然對(duì)角線不等，故不符合題意；
②AB斜率存在時(shí)，假設(shè)存在四邊形OABC為矩形，設(shè)AB直線方程為：y=kx+m，與橢圓聯(lián)立消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，△＞0，四邊形OABC為矩形．由OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及其根與系數(shù)的關(guān)系可得：5m²-4k²-4=0；又四邊形OABC為矩形，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算即可得出．

解答 解：（1）∵2b=2，∴b=1．
∵橢圓過(guò)點(diǎn)$P（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{{\frac{3}{4}}}{b^2}=1$，
解得：a²=4，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）存在四邊形為ABCD矩形．
①AB斜率不存在時(shí)，顯然對(duì)角線不等，故不符合題意；
②AB斜率存在時(shí)，假設(shè)存在四邊形OABC為矩形，
設(shè)AB直線方程為：y=kx+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（4k²-m²+1）＞0，即：4k²+1＞m²，①
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
∵四邊形OABC為矩形，
∵OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
化為：$（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=0$，
代入可得：$（{1+{k^2}}）\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}+km•\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}+{m^2}=0$，
整理得：5m²-4k²-4=0  ②
由①②得  ${m^2}＞\frac{3}{4}$  ③
又∵四邊形OABC為矩形，故$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，
設(shè)C（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{x_0}={x_1}+{x_2}\\{y_0}={y_1}+{y_2}=k（{{x_1}+{x_2}}）+2m\end{array}\right.$，
∴$C（{-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，\frac{2m}{{1+4{k^2}}}}）$，
∵C在橢圓上，∴$\frac{{16{k^2}{m^2}}}{{{{（{1+4{k^2}}）}^2}}}+\frac{{4{m^2}}}{{{{（{1+4{k^2}}）}^2}}}=1$，
即$\frac{{4{m^2}}}{{1+4{k^2}}}=1$，故4m²=1+4k²，④
結(jié)合②④，解得$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=3\\{k^2}=\frac{11}{4}\end{array}\right.$，符合題意．
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{4\sqrt{4{k^2}+1-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}$，而O到AB距離：$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
${S_{矩形AOBC}}=d•|{AB}|=\frac{{4|m|\sqrt{4{k^2}+1-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{4\sqrt{3}\sqrt{9}}}{12}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式、矩形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．