12.設(shè)數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an+log2an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(1)由題意可得:$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}+{a_3}=7\\{a_1}+3+{a_3}+4=6{a_2}\end{array}\right.又q>1,得{a_1}=1,q=2$.
∴${a_n}={2^{n-1}}(n∈{N^*})$.
(2)${log_2}{a_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$,
∴an+log2an=2n-1+(n-1).
∴Tn=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{n(0+n-1)}{2}$=2n-1+$\frac{{n}^{2}-n}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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2.已知非空集合S⊆{1,2,3,4,5,6}滿足:若a∈S,則必有7-a∈S,問(wèn)這樣的集合S有7個(gè);請(qǐng)將該問(wèn)題推廣到一般情況:已知非空集合A⊆{1,2,…,n}滿足:若a∈A,則必有n+1-a∈A;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),這樣的集合A有${2^{\frac{n}{2}}}-1$個(gè);當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),這樣的集合A有${2^{\frac{n+1}{2}}}-1$個(gè).

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3.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b1=a1=3,b2=a3,b3=a9
(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)${c_n}={log_3}b_n^5-32$,求數(shù)列{|cn|}的前n項(xiàng)的和Sn

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20.如圖,執(zhí)行其程序框圖,則輸出S的值等于( 。
A.15B.105C.245D.945

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7.實(shí)數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x>0\\ y≤2\end{array}\right.$,則$z=\frac{y}{x-4}$的最小值為$-\frac{2}{3}$.

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17.在等差數(shù)列{an}中,已知a2+a9=7,則3a5+a7=14.

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4.某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:元/千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式$y=\frac{m}{x-3}+8{({x-6})^2}$,其中3<x<6,m為常數(shù),已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.
(Ⅰ) 求m的值;
(Ⅱ) 若該商品的成品為3元/千克,試確定銷售價(jià)格x的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.

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1.若直線y=a與函數(shù)y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( 。
A.{$\frac{{e}^{2}}{3}$}B.(0,$\frac{{e}^{2}}{3}$)C.($\frac{{e}^{2}}{3}$,e)D.($\frac{1}{e}$,1)∪{$\frac{{e}^{2}}{3}$}

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2.在用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)在某一周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:
ωx+φ0$\frac{π}{2}$π$\frac{3π}{2}$
x$\frac{π}{4}$π$\frac{7π}{4}$$\frac{5π}{2}$$\frac{13π}{4}$
Asin(ωx+φ)030-30
(Ⅰ)請(qǐng)將上表空格中處所缺的數(shù)據(jù)填寫在答題卡的相應(yīng)位置上,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{3}$,再將所得圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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