Question

已知函數(shù)f（x）=

sinx

2+cosx

．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤a在[0，2π]有解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）f（x）≤a在[0，2π]有解，則f（x）_min≤a，再利用（1）可得f（x）的單調(diào)性，即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

2cosx+1

(2+cosx)2

，
當(dāng)2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

（k∈Z）時(shí)，cosx＞-

1

2

，可得f′（x）＞0；
當(dāng)2kπ+

2π

3

＜x＜2kπ+

4π

3

（k∈Z）時(shí)，cosx＜-

1

2

，即f′（x）＜0．
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ+

2π

3

，2kπ+

4π

3

)(k∈Z)．
（2）f（x）≤a在[0，2π]有解，則f（x）_min≤a，
由（1）可知x∈[0，

2π

3

]，[

4π

3

，2π]遞增，x∈[

2π

3

，

4π

3

]遞減，
∴f（x）_min=min{f（0），f(

4π

3

)}，
f（0）=0，f(

4π

3

)=-

3

3

，
∴a≥-

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、余弦函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．