Question

6．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）與棱A₁B₁平行的棱是AD、BC、DD₁、CC₁；與棱B₁B異面的棱為AD、A₁D₁、DC、D₁C₁；與棱C₁B₁垂直的棱為AB、A₁B₁、DC、D₁C₁、AA₁、DD₁，CC₁，BB₁；
以下各題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
（2）A₁B與CC₁所成的角是45°；A₁B₁與CC₁所成的角是90°；D₁C與C₁B所成的角是60°．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用異面直線、垂直的概念能求出結(jié)果．
（2）由CC₁∥BB₁，得∠A₁BB₁是A₁B與CC₁所成的角，由此能求出A₁B與CC₁所成的角的大��；由CC₁∥BB₁，得∠A₁B₁B是A₁B₁與CC₁所成的角，由此能求出A₁B₁與CC₁所成的角的大�。挥蒁₁C∥A₁B，得∠A₁BC₁是D₁C與C₁B所成的角，由此能求出D₁C與C₁B所成的角的大�。�

解答 解：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
與棱A₁B₁平行的棱是AD、BC、DD₁、CC₁；
與棱B₁B異面的棱為AD、A₁D₁、DC、D₁C₁；
與棱C₁B₁垂直的棱為AB、A₁B₁、DC、D₁C₁、AA₁、DD₁，CC₁，BB₁．
故答案為：AD、BC、DD₁、CC₁；AD、A₁D₁、DC、D₁C₁；AB、A₁B₁、DC、D₁C₁、AA₁、DD₁，CC₁，BB₁．
（2）∵CC₁∥BB₁，
∴∠A₁BB₁是A₁B與CC₁所成的角，
∵A₁B₁=BB₁，A₁B₁⊥BB₁，
∴∠A₁BB₁=45°，
∴A₁B與CC₁所成的角為45°；
∵CC₁∥BB₁，
∴∠A₁B₁B是A₁B₁與CC₁所成的角，
∵A₁B₁⊥BB₁，∴∠A₁B₁B=90°，
∴A₁B₁與CC₁所成的角為90°；
∵D₁C∥A₁B，∴∠A₁BC₁是D₁C與C₁B所成的角，
∵A₁B=BC₁=A₁C₁，∴∠A₁BC₁=60°，
∴D₁C與C₁B所成的角為60°．
故答案為：45°；90°；60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線、直線垂直的判斷及求法，考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意正方體的結(jié)構(gòu)特征的合理運(yùn)用．