Question

16．某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)3個(gè)才能通過(guò)初試．已知甲、乙兩人參加初試，在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè)，乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為$\frac{3}{4}$，且甲、乙兩人是否答對(duì)每個(gè)試題互不影響．
（Ⅰ）求甲通過(guò)自主招生初試的概率；
（Ⅱ）試通過(guò)概率計(jì)算，分析甲、乙兩人誰(shuí)通過(guò)自主招生初試的可能性更大；
（Ⅲ）記甲答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出甲通過(guò)自主招生初試的概率．
（Ⅱ）利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式求出乙通過(guò)自主招生初試的概率，從而得到甲通過(guò)自主招生初試的可能性更大．
（Ⅲ）依題意，X的可能取值為2，3，4，分別出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)3個(gè)才能通過(guò)初試，
在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè)，
∴甲通過(guò)自主招生初試的概率$P=\frac{C_6^3C_2^1}{C_8^4}+\frac{C_6^4}{C_8^4}=\frac{11}{14}$．…（3分）
（Ⅱ）參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)3個(gè)才能通過(guò)初試．
在這8個(gè)試題中乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為$\frac{3}{4}$，
∴乙通過(guò)自主招生初試的概率$P'=C_4^3{（{\frac{3}{4}}）^3}（{\frac{1}{4}}）+{（{\frac{3}{4}}）^4}=\frac{189}{256}$；
∵$\frac{11}{14}＞\frac{189}{256}$，∴甲通過(guò)自主招生初試的可能性更大．…（7分）
（Ⅲ）依題意，X的可能取值為2，3，4，
$P（{X=2}）=\frac{C_6^2C_2^2}{C_8^4}=\frac{3}{14}$，
$P（{X=3}）=\frac{C_6^3C_2^1}{C_8^4}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$，
$P（{X=4}）=\frac{C_6^4}{C_8^4}=\frac{3}{14}$，
∴X的概率分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{3}{14}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{3}{14}$

∴$E（X）=2×\frac{3}{14}+3×\frac{4}{7}+4×\frac{3}{14}=3$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)苦衷知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．